§ 50. Парабола как график уравнения y=ax^2+bx+c

Уравнение

представляет ту же параболу, что и уравнение (ср. § 48), только теперь ось параболы совпадает с осью ординат; начало координат по-прежнему совпадает с вершиной параболы (рис. 55). Фокус находится в точке Директриса представляется уравнением

Рис. 13

Рис. 62

Если за положительное направление на оси ординат принять не направление а направление (рис. 56), то уравнение параболы будет:

(см. рис. 56, где осям координат приданы обычные направления). Согласно с этим графиками функций

служат параболы, обращенные вогнутостью вверх, когда и вниз, когда Чем меньше абсолютное значение а на рис. 57 имеем тем ближе фокус к вершине, тем больше «раствор» параболы.

Всякое уравнение

графически изображается той же параболой, что и уравнение для обеих парабол расстояние от вершины до фокуса равно Обе обращены вогнутостью в одном и том же

Рис. 56

Рис. 57

направлении. Но вершина параболы (4) лежит не в начале координат, а в точке (рис. 58) с координатами

Пример. Уравнение

представляет (рис. 59) ту же параболу, что и уравнение . Ее вершина лежит в точке с координатами

Фокус находится снизу от вершины на расстоянии

Следовательно, координаты фокуса есть

Рис. 101

Рис. 64

Замечание 1. Нет необходимости запоминать формулы (5). Для вычисления можно применить следующий прием. Уравнение (4а) перепишем в виде

Дополним выражение в скобках до полного квадрата, прибавив Для компенсации прибавим к левой части. Получим:

Уравнение (7) примет вид

если выполнить преобразование переноса осей (§ 35):

Вершина параболы (т. е. точка ) имеет координаты

Замечание 2. Общие формулы (5) можно вывести из уравнения (4) тем же приемом, какой был применен в замечании 1 к уравнению (4а). Замечание 3. Уравнение

представляет параболу (рис. 60) с вершиной в точке . Ее ось параллельна оси абсцисс; вогнутость обращена «вправо», если и «влево», если .

Рис. 65