§ 187. Два уравнения с двумя неизвестными

Рассмотрим систему уравнений

(каждое из них представляет прямую на плоскости XOY; ср. § 19).

Введем обозначения

Определитель получается из А заменой элементов первого столбца свободными членами системы; аналогично получается Возможны три случая.

Случай 1. Определитель системы не равен нулю:

Тогда система имеет единственное решение

(прямые (1) и (2) пересекаются, формулы (5) дают координаты точки пересечения).

Случай 2. Определитель системы равен нулю: (т. е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей не равен нулю (т. е. свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных).

В этом случае система не имеет решений (прямые (1) и (2) параллельны, но не совпадают).

Случай и коэффициенты и свободные члены пропорциональны).

Тогда одно из уравнений (1), (2) есть следствие другого; система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений (прямые (1) и (2) совпадают). Пример 1.

Здесь

Система имеет единственное решение

Пример 2.

Здесь При этом . Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

Пример 3.

Здесь

Одно из уравнений есть следствие другого (например, второе получается из первого умножением на 2). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, содержащихся в формуле