§ 415. Ряд Фурье

В § 414 рассматривалась сумма данного сходящегося тригонометрического ряда. На практике важна следующая обратная задача: дана функция с периодом требуется найти всюду сходящийся тригонометрический ряд

имеющий сумму

Если эта задача имеет решение, то оно единственно, и коэффициенты искомого ряда (1) находятся по формулам Эйлера-Фурье (§ 414):

Полученный ряд называется рядом Фурье для функции

Не исключено, что поставленная здесь задача не имеет решения: ряд Фурье (даже при непрерывности функции может оказаться расходящимся в бесчисленном множестве точек на промежутке Поэтому связь между функцией и ее рядом Фурье обозначают так:

избегая знака равенства.

Однако для всех практически важных непрерывных функций задача имеет решение, т. е. ряд Фурье непрерывной периодической функции на практике оказывается всюду сходящимся и его сумма равна данной функции, а не какой-либо иной. Это видно из

§ 416, где дано достаточное условие разложимости непрерывной функции в ряд Фурье.

Более того, разрывные периодические функции, имеющие практическое значение, тоже разлагаются в ряд Фурье, но с одной оговоркой: в точках разрыва функции ее ряд Фурье может иметь сумму, отличную от соответствующего значения самой функции (см. § 418).

Замечание. Непериодические функции, определенные в промежутке тоже можно разлагать в ряд Фурье, но со следующей оговоркой: за пределами промежутка и на его концах ряд Фурье функции будет иметь сумму, которая, как правило, будет отличаться от соответствующего значения самой функции (что и естественно, поскольку сумма тригонометрического ряда есть периодическая функция (см. § 417, пример 2)). Но это несущественно, поскольку нас интересуют значения функции лишь внутри промежутка