§ 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка

Преобразование уравнения центральной линии к простейшему виду можно выполнить быстрее, чем по общему способу § 60, если сначала совершить перенос начала координат в центр (вследствие чего исчезнут члены первой степени; см. § 69), а затем поворот осей (вследствие чего исчезнет член, содержащий Угол а этого поворота заранее известен (§ 61); он определяется из уравнения

Замечание. Этот способ применим ко всякой центральной линии второго порядка, но для распадающейся линии лучше применить способ § 65.

Пример. Дано уравнение (пример 1 §§ 61—62)

Переносим начало в центр пример 2).

С помощью формул переноса

получаем (ср. (8) § 69):

Из уравнения (1) находим и если взять угол а в первой четверти (ср. § 61), получаем формулы поворота

Подставляя (5) в уравнение (4), находим:

или

Данная линия есть эллипс с полуосями В первоначальной системе его центр координаты большая ось (она является осью абсцисс в системе представляется уравнением или т. е. (ср. § 62, пример 1).

Замечание. Размеры эллипса можно найти и не выполняя преобразования координат. Мы знаем заранее, что в результате преобразования должно получиться уравнение вида . Величины можно найти с помощью инвариантов (§ 66). В первоначальном уравнении они равны

Те же значения они должны иметь в упрощенном уравнении. Следовательно,

откуда

и мы снова получаем уравнение (6).