§ 198. Область определения функции

1. Совокупность всех значений, которые может принимать (в условиях вопроса) аргумент функции называется областью определения этой функции.

Замечание. Значению по входящему в упомянутую совокупность, не соответствует никакое значение функции.

Пример 1. В условиях примера в § 197 область определения функции есть множество всех чисел от 0 до 90 (включая 0 и 90):

Действительно, каждому расстоянию от 0 до 90 соответствует определенное время пребывания машины в пути, а расстояниям не соответствует никакое значение .

Пример 2. Сумма членов арифметической прогрессии

есть функция числа членов ; она выражается формулой

Сама по себе эта формула имеет смысл для любого . Но в данном вопросе может принимать лишь значения . Область определения есть множество всех натуральных чисел (значениям и т.п. не соответствуют никакие значения функции).

2. Часто функция задается формулой без указания области определения; тогда подразумевается, что область определения есть множество всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Пример 3. Функция задана формулой (без указания области определения). Подразумевается, что область определения есть множество всех действительных чисел (ср. пример 2).

Пример 4. Функция у задана формулой

которая имеет смысл только при Область определения есть множество всех чисел от 2 до 7 (включая границы). График (рис. 207) располагается лишь над отрезком

Пример 5. Функция у задана формулой

Область определения — множество всех чисел, кроме нуля. При значении графика (рис. 208) нет точки.

Пример 6. Область определения функции есть совокупность положительных чисел и нуля (рис. 209).

Рис. 207

Рис. 208

Рис. 209

3. Когда область определения функции есть совокупность натуральных чисел, функция называется целочисленной; о значениях целочисленной функции говорят, что они образуют последовательность или являются членами последовательности.

Пример 7. Функция целочисленная. Значения образуют последовательность.

Произведение обозначается (читается факториал»), так что данную функцию можно представить формулой

Пример 8. Функция где принимает значения целочисленная. Значения (члены геометрической прогрессии) образуют последовательность.

Пример 9. Функция (сумма членов геометрической прогрессии) — целочисленная. Значения образуют последовательность.