§ 174. Однополостный гиперболоид

Поверхность, представляемая уравнением

называется однополостным гиперболоидом (рис. 192).

Наименование «гиперболоид» происходит от того, что среди сечений этой поверхности есть гиперболы. Таковы, в частности, сечения плоскостями на рис. 192) и Эти сечения представляются (в своих плоскостях) уравнениями

Название однопол остный» подчеркивает, что поверхность (1) в противоположность поверхности двуполостного гиперболоида (см. § 175) не разорвана на две «полости», а представляет сплошную бесконечную трубку, вытянутую вдоль оси

Плоскость

при любом значении (ср. § 173) дает в сечении с поверхностью (1) эллипс

с полуосями . Все эллипсы (5) подобны, вершины их лежат на гиперболах (2) и (3); размеры эллипсов увеличиваются по мере удаления сечения от плоскости Сечение плоскостью есть эллипс

(горловой эллипс ).

Гиперболы (2) и (3), а также эллипс (5) называются главными сечениями, их вершины вершинами однополостного гиперболоида. Отрезки (действительные оси главных гипербол), а часто и прямые называются поперечными осями. Отрезок откладываемый на оси (мнимая ось каждой из главных гипербол), называется продольной осью однополостного гиперболоида.

Точка О есть центр симметрии однополостного гиперболоида (1), плоскости плоскости симметрии, оси оси симметрии.

Рис. 192

Однополостный гиперболоид вращения. Если то уравнение (1) принимает вид

Горловой эллипс обращается в горловую окружность радиуса а. Все сечения, параллельные тоже окружности. Сечения и (и вообще все сечения через продольную ось) становятся равными гиперболами, и поверхность (6) можно образовать вращением гиперболы около продольной оси. Поверхность (6) называется однополостным гиперболоидом вращения. Положение двух ее (поперечных) осей становится неопределенным, третья (продольная) ось совпадает с мнимой осью вращающейся гиперболы. В отличие от гиперболоида вращения однополостный гиперболоид (1) при называется трехосным.

Замечание. Однополостный гиперболоид вращения можно определить как поверхность, порожденную вращением гиперболы около мнимой оси, трехосный однополостный гиперболоид — как поверхность, получаемую равномерным сжатием однополостного гиперболоида вращения к плоскости какого-либо меридиана.

Пример. Определить вид поверхности

Решение. Данное уравнение приводится к виду

Оно представляет однополостный гиперболоид вращения с центром в точке (0; 0; 0), осью вращения служит ОХ (так как отрицательный коэффициент стоит при Радиус горлового круга продольная полуось равна 4.