§ 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов

Для функции одного аргумента формулу Тейлора (§ 271) можно записать в виде

где некоторое положительное число, меньшее единицы

Здесь выражения есть дифференциалы первого, второго и т. д. порядков.

Формула Тейлора для функции нескольких переменных строится аналогично, только дифференциалы берутся полные. Так, для двух аргументов при имеем:

где удовлетворяет неравенству (2).

Выражения в квадратных скобках есть полные дифференциалы (§ 444). В последнем члене частные производные взяты при промежуточных значениях аргументов.

Формула Тейлора с любым числом членов обозрима (даже для двух аргументов) лишь при условных обозначениях § 446. Тогда она имеет вид

или

и аналогично для большего числа аргументов.

Замечание. Формула Тейлора верна при условии, что функция обладает полным дифференциалом порядка во всех точках отрезка, соединяющего точки

Пример. Проверим формулу (3) на примере функции

при Будем иметь:

Подставив данные значения, получим уравнение откуда т. е. действительно содержится между нулем и единицей.