§ 329. О приближенном вычислении интеграла

На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции (§ 309) или выражаются очень сложно. Нередко подынтегральная функция задается таблицей или графиком. В этих случаях интегралы находят приближенными методами.

Исторически первым был разработанный И. Ньютоном метод бесконечных рядов (см. § 270). Он применяется и сейчас (на более строгой основе; см. ниже § 402).

Другой метод, называемый часто методом механических квадратурсостоит в замене подынтегральной функции таким многочленом степени

который при данных значениях (число их равно имеет те же значения, что и функция

Геометрически: линия заменяется «параболой степени» проходящей через точек данной линии.

Приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям называется интерполяцией, а многочлен (1) — интерполяционным многочленом.

Интегрируя интерполяционный многочлен, получаем приближенно интеграл функции

Пример 1. При одном данном значении получаем интерполяционный многочлен нулевой степени

Линия заменяется горизонтальной прямой (рис. 349), проходящей через данную точку

Приближенное значение интеграла

дает площадь прямоугольника (вместо площади криволинейной трапеции ).

Пример 2. При двух данных значениях получаем интерполяционный многочлен первой степени

Он представляет прямую (рис. 350), проходящую через точки Соответствующее приближенное значение интеграла

дает площадь прямолинейной трапеции

Пример 3. При трех данных значениях

получаем интерполяционный многочлен второй степени

Рис. 349

Рис. 350

В справедливости формулы (6) убедимся, подставив последовательно

Получим:

Если расположить по степеням формула усложнится. Выражения первая и вторая разности функции (§ 258).

Многочлен (6) представляет параболу с вертикальной осью (рис. 351), проходящую через три точки: Мдго Приближенное значение

дает площадь параболической трапеции (вместо площади криволинейной трапеции ).

Формулы (4), (6) обобщаются на произвольное число равноотстоящих значений Для четырех значений имеем:

или сокращенно:

Рис. 351

Соответствующая общая формула называется интерполяционной формулой Ньютона. Нестрогим способом Тейлор получил из нее разложение функции в степенной ряд (он положил и заменил разности дифференциалами