§ 468. Момент инерции

Кинетическая энергия тела, вращающегося около оси пропорциональна (при данном расположении оси относительно тела) квадрату угловой скорости :

Удвоенный коэффициент пропорциональности, т. е. величина называется моментом инерции тела относительно оси Если тело состоит из материальных точек массами отстоящих от оси на расстояниях то момент инерции выражается формулой

Выражение момента инерции сплошного тела получается из (2) применением схемы § 467. Именно:

1. Момент инерции ставится в соответствие области занимаемой телом.

2. Область разбивается на части При этом I распадается на части в сумме дающие

3. Примем, что в частице плотность всюду такая же, как и в одной из ее точек Получим приближенное равенство

и момент инерции выразится приближенной формулой

4. Из приближенного равенства (4) получается точное равенство

Пример см. в § 466.

Если ось принять за ось апликат, то (5) принимает вид

Если данное тело есть пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси то вместо тройного интеграла (6) получим двойной интеграл:

где поверхностная плотность пластинки.

Если данное тело есть прямолинейный стержень, пересекающий ось под прямым углом, то, совместив его с осью ОХ (при этом будем иметь получим вместо тройного интеграла (6) обыкновенный интеграл

где — линейная плотность стержня.

Замечание. Моментом инерции геометрического тела называется момент инерции материального тела, занимающего то же пространство и имеющего всюду плотность, равную единице.

Формулы (6), (7), (8) принимают вид

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)