§ 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов

Символ здесь и в дальнейшем обозначает дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной функцией двух переменных х, у (ср. § 304). Если знаменатель — постоянная величина (многочлен нулевой степени), то рациональная функция называется целой.

Аналогично определяется рациональная функция трех переменных , четырех и т. д.

Интеграл вида

где — рациональные числа, а — постоянные величины (числовые или буквенные), приводится к интегралу рациональной функции и, значит, выражается через элементарные функции. Этой цели служит

подстановка где — общий знаменатель дробей .

В частности, интеграл

вычисляется подстановкой .

Замечание. Приведение данного интеграла к интегралу рациональной функции называют рационализацией.

Пример 1.

Здесь Общий знаменатель Интеграл рационализируется подстановкой

Получаем:

где .

Пример 2.

Это — интеграл вида (2). Полагаем Получаем:

где .