§ 358. Соприкасающаяся плоскость

Определение. Соприкасающейся плоскостью кривой (в точке называется плоскость к совпадению с которой стремится плоскость (рис. 396); когда две (не совпадающие друг с другом) точки оставаясь на линии стремятся к точке

Замечание 1. Для кривой линии лежащей в одной плоскости соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью Для прямой линии соприкасающаяся плоскость остается неопределенной.

Пояснение. На проволочной модели линии отметим три точки Если они не слишком далеки друг от друга, то дуга практически уложится в плоскости (хотя дуга будет значительно уклоняться от прямолинейной формы). Соприкасающаяся плоскость есть отвлеченный образ плоскости Если на модель положить листок бумаги так, чтобы он практически совпал с соприкасающейся плоскостью, то он, несмотря на некоторый наклон, сохранит равновесие (за счет трения на участке Во всех же остальных положениях листок не удержится на модели.

Рис. 396

Уравнение соприкасающейся плоскости. «Вектор плоскости» и «вектор ускорения» оба лежат в соприкасающейся плоскости. Если они не коллинеарны, то векторное произведение

есть нормальный вектор соприкасающейся плоскости и уравнение последней есть

или в координатной форме

Пример. Найти соприкасающуюся плоскость винтовой линии

Решение. Находим:

В силу (3) уравнение соприкасающейся плоскости есть

или

Угол образуемый соприкасающейся плоскостью с осью винтовой линии, находится из формулы (§ 146)

Отсюда т. е. соприкасающаяся плоскость образует с осью винтовой линии тот же постоянный угол, что и касательная (§ 351, пример).

Соприкасающаяся плоскость обладает следующими свойствами.

1. Плоскость (см. рис. 396), проходящая через касательную и точку К линии стремится к совпадению с соприкасающейся плоскостью когда точка К стремится к

2. Плоскость (см. рис. 396), проходящая через касательную и параллельная касательной тоже стремится к совпадению с плоскостью когда точка К стремится к

Замечание. Каждое из этих свойств можно принять за определение соприкасающейся плоскости.