§ 291. Комбинированный метод хорд и касательных

При выполнении условий § 290 приближения (по методу хорд) и приближения (по методу касательных) подходят к корню с противоположных сторон (первые — со стороны вогнутости, вторые — со стороны выпуклости графика; рис. 318). Совместное применение обоих методов дает сразу избыточное и недостаточное приближения, и степень точности оценивается непосредственно.

Пусть а есть тот конец промежутка где знаки одинаковы. Тогда по формулам (1) § 289 и (2) § 290 находим:

Искомый корень заключен между При этом имеет тот же знак, что (см. рис. 318). Следовательно, мы можем снова применить формулы (1)

Рис. 318

настоящего параграфа, заменив в них а на , а на Получаем вторые приближения

Для вычисления применяем те же формулы, заменив в них на Продолжая процесс, найдем, с требуемой точностью.

Пример. Решить уравнение .

Следуя второму способу § 288, строим графики (рис. 319). Помимо точки А, дающей точный корень получаем только одну точку пересечения Ее абсцисса лежит между и

Вычислим с точностью до 0,0001. Имеем:

Первая производная сохраняет в промежутке (0; 0,5) знак минус, вторая — знак плюс. Для вычисления надо взять конец так как там знаки одинаковы. Находим:

Рис. 319

С помощью пятизначных таблиц логарифмов получим:

Это дает вторые приближения:

Искомый корень лежит в промежутке и поэтому по меньшей мере с точностью до На самом деле точность еще больше (пользуясь семизначными таблицами логарифмов, мы при тех же значениях получим для границы 0,30990 и 0,30991).