§ 501. Метод вариации постоянных

Общее решение линейного уравнения с правой, частью получается из общего решения соответствующего уравнения без правой части с помощью квадратур. Для этого можно применить следующий прием.

В общем решении уравнения без правой части заменяем все произвольные постоянные неизвестными функциями. Полученное выражение дифференцируем и накладываем на неизвестные функции добавочные условия, упрощающие вид последовательных производных. Подставляя выражение производных и т. д. в данное уравнение, получаем еще одно условие, налагаемое на неизвестные функции. Тогда оказывается возможным найти первые производные всех неизвестных функций и остается выполнить квадратуры.

Этот метод применим к линейным уравнениям любого порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. В § 486 он был применен к линейному

уравнению первого порядка. Здесь рассмотрим уравнение второго порядка

Пусть общее решение соответствующего уравнения без правой части есть

Ищем общее решение уравнения (1) в виде (2), считая теперь неизвестными функциями Дифференцируя (2), находим:

Вводим добавочное условие

Тогда вид первой производной упрощается, и мы имеем:

Дифференцируя еще раз, имеем:

После подстановки выражений (2), (5) и (6) в уравнение (1) все члены, содержащие взаимно уничтожатся (так как функция есть решение уравнения точно так же взаимно уничтожатся все члены, содержащие и мы получим еще одно условие

Условия (4) и (7) позволяют найти выражения производных и остается выполнить квадратуры.

Пример. Рассмотрим уравнение

Общее решение соответствующего уравнения без правой части есть

где произвольные постоянные. Ищем решение уравнения (1а) в виде (2а), считая теперь неизвестными функциями.

Условия (4) и (7) принимают вид

Отсюда находим:

( — постоянные). В данном случае интегрирование выполнимо в элементарных функциях. Подставляя в (2а), получаем общее решение