§ 86. Сложение векторов

Определение. Суммой векторов называется третий вектор с, получаемый следующим построением: из произвольного начала О (рис. 118) строим вектор равный а (§ 83); из точки как из начала, строим вектор равный Вектор есть сумма векторов («правило треугольника»).

Запись: .

Предостережение. Нельзя смешивать понятие «сумма отрезков» с понятием «сумма векторов». Сумма отрезков и получается следующим построением: продолжив прямую (рис. 119), откладываем отрезок равный отрезку Отрезок есть

Рис. 118

Рис. 119

сумма отрезков и Сумма векторов и строится иначе (см. определение).

При сложении векторов имеют место неравенства

выражающие, что сторона треугольника (см. рис. 118) меньше суммы и больше разности двух других сторон. В формуле (1) знак равенства имеет место только для равнонаправленных векторов (рис. 120), в формуле (2) — только для противоположно направленных векторов (рис. 121).

Сумма противоположных векторов. Из определения следует, что сумма противоположных векторов равна нуль-вектору:

Переместительное свойство. От перестановки слагаемых сумма векторов не меняется:

Правило параллелограмма. Если слагаемые не коллинеарны, то сумму а можно найти следующим построением: из любого начала О (рис. 122) строим векторы и на отрезках строим параллелограмм Вектор диагонали есть сумма векторов (так как и ).

Рис. 120

Рис. 121

Рис. 122

К коллинеарным векторам (см. рис. 120 и 121) это построение неприменимо.

Замечание. Определение сложения векторов установлено в соответствии с физическими законами сложения векторных величин (например, сил, приложенных к материальной точке).