§ 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай)

Данную пространственную область разбиваем, если надо, на части (ср. § 456) с таким расчетом, чтобы

«горизонтальная» проекция (рис. 457) каждой части была плоской областью простейшего типа (§ 456, пп. 1 и 2) и чтобы каждая «вертикальная» прямая, встречающая границу области имела с ней не более двух общих точек на рис. 457).

Тройной интеграл, взятый по каждой частичной области приводится к двойному по формуле

где функции представляют апликаты и . В процессе вычисления интеграла

величины являются постоянными. Результат вычисления рассматривается как функция аргументов

После того как интегрирование по переменному 2 выполнено, правая часть (1) превращается в двойной интеграл. А последний вычисляется также, как и в § 456. Поэтому в итоге тройной интеграл сводится к повторному:

Здесь функции представляют ординаты

Рис. 457

Пример. Найти интеграл распространенный на полушарие радиуса изображенное на рис. 458.

Интеграл I выражает статический момент полушария относительно плоскости основания (плотность полушария принимается за единицу).

Решение. Разбивать данную область не надо.

Областью является круг

так что Апликаты нижней и верхней границ полушария есть По формуле (2) находим:

Дальше вычисление идет также, как и в примерах § 456. Получаем

Рис. 458

Замечание. Масса полушария численно равна его объему - Частное есть высота центра тяжести над плоскостью основания. Значит, центр тяжести делит высоту полушария в отношении