§ 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай)
Данную пространственную область разбиваем, если надо, на части (ср. § 456) с таким расчетом, чтобы
«горизонтальная» проекция 
(рис. 457) каждой части 
была плоской областью простейшего типа (§ 456, пп. 1 и 2) и чтобы каждая «вертикальная» прямая, встречающая границу области 
имела с ней не более двух общих точек 
на рис. 457).
Тройной интеграл, взятый по каждой частичной области 
приводится к двойному по формуле
где функции 
представляют апликаты 
и 
. В процессе вычисления интеграла
величины 
являются постоянными. Результат вычисления рассматривается как функция аргументов 
После того как интегрирование по переменному 2 выполнено, правая часть (1) превращается в двойной интеграл. А последний вычисляется также, как и в § 456. Поэтому в итоге тройной интеграл сводится к повторному:
Здесь функции 
представляют ординаты 
Рис. 457
Пример. Найти интеграл 
распространенный на полушарие радиуса 
изображенное на рис. 458.
Интеграл I выражает статический момент полушария относительно плоскости основания (плотность 
полушария принимается за единицу).
Решение. Разбивать данную область не надо.
Областью 
является круг
так что 
Апликаты нижней и верхней границ полушария есть 
По формуле (2) находим:
Дальше вычисление идет также, как и в примерах § 456. Получаем
Рис. 458
численно равна его объему - 
Частное 
есть высота центра тяжести над плоскостью основания. Значит, центр тяжести делит высоту полушария в отношении 