§ 312. Интегралы вида ...
Интегралы этого вида рационализируются одной из подстановок Эйлера.
Первая подстановка Эйлера применима при 
Полагаем
Тогда
Члены, содержащие 
взаимно уничтожаются, и 
(а значит, и dx) выражается через t рационально. Подставив это выражение в (1), найдем рациональное выражение и для радикала 
.
Пример 1. 
Полагаем
Отсюда
Следовательно
Третья подстановка Эйлера (о второй см. ниже замечание) применима всякий раз, когда трехчлен 
с имеет действительные корни, и, в частности, при 
Пусть корни будут 
Тогда полагаем
откуда находим рациональное выражение 
через t:
Рациональное выражение радикала находим так:
Пример 2. 
Трехчлен 
имеет корни 
:
Подкоренное выражение положительно при 
подынтегральная функция обращается в бесконечность).
Полагаем
Отсюда
(в силу неравенства 
величина 
отрицательна). Подставляя в правую часть выражение 
через 
находим:
В силу (6) и (7) имеем:
Замечание. Первая и третья подстановки Эйлера достаточны, чтобы вычислить любой интеграл рассматриваемого вида. Для полноты приведем и вторую подстановку Эйлера
Она применима при 
Возводя в квадрат и деля на 
получаем рациональное выражение 
через 
затем (8) дает рациональное выражение радикала.
