§ 321. Дифференциал интеграла

Теорема 1. Дифференциал интеграла с переменным верхним пределом совпадает с подынтегральным выражением

Формулу (1) можно записать точнее

Пример.

Проверим это равенство. Мы имеем (§ 320):

Дифференцируя, получаем (1а).

Замечание. Из формулы (1) получаем:

т. е. производная интеграла по верхнему пределу совпадает с подынтегральной функцией. Это предложение можно высказать еще и в такой форме.

Теорема 2. Интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции (§ 293).

Пояснение формулы (1). Площадь (рис. 342) выражается интегралом . Когда возрастает на площадь получит приращение Это приращение разбивается на прямоугольник и криволинейный треугольник Площадь прямоугольника равна она пропорциональна а площадь треугольника имеет высший порядок относительно (на рис. 342 она меньше чем Значит, подынтегральное выражение есть дифференциал интеграла (§ 230).

Пояснение формулы (2). Если скорость точки в момент времени то есть (§317, п. 1) путь пройденный точкой за время, отделяющее момент от начального момента а:

Производная есть скорость точки . Следовательно,

Рис. 342