§ 183. Определители высших порядков

Определителем четвертого порядка

называется выражение

где алгебраические дополнения (§ 182) элементов , т.е.

Пример 1. Вычислить определитель

Решение.

(так как то вычислять не надо),

Для определителя четвертого порядка остаются в силе теоремы 1 и 2 § 182. Их объединяет следующая теорема.

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.

Первая из формул (4) совпадает с формулой (2), принятой за определение. Остальные можно проверить непосредственным вычислением, хотя оно и громоздко. Есть и более короткие выводы.

Пример 2. Вычислим определитель примера 1, разлагая его по элементам второго столбца. Имеем:

где

так что

Пример 3. Вычислим тот же определитель, разлагая его по элементам третьей строки:

Определителем пятого порядка

называется выражение

где алгебраические дополнения элементов эти алгебраические дополнения сами являются определителями четвертого порядка.

Аналогично определяется определитель шестого порядка через определитель пятого порядка и т. д.

Теорема настоящего параграфа остается в силе для определителя любого порядка.