§ 443. Частные производные высших порядков

Определение 1. Частными производными второго порядка (или вторыми частными производными) функции называются частные производные функций

Общее число вторых частных производных — четыре. Частная производная от по аргументу

обозначается или или Аналогично обозначаются остальные, так что имеем:

Вторые производные (2) и (5) называются чистыми, вторые производные (3) и (4) — смешанными.

Теорема 1. Смешанные производные второго порядка (они отличаются друг от друга порядком дифференцирования) равны между собой (при условии их непрерывности в рассматриваемой точке).

Пример 1. Найдем вторые частные производные функции Имеем:

Смешанные производные равны между собой.

Замечание 1. Четыре частных производных второго порядка в силу теоремы 1 сводятся к трем: .

Определение 2. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными

производными третьего порядка (или третьими частными производными) и обозначаются (чистые производные), (смешанные производные) или и т. д.

Теорема 2. Смешанные производные третьего порядка, отличающиеся друг от друга лишь порядком дифференцирования, равны между собой (при условии их непрерывности в рассматриваемой точке).

Например,

Пример 2. Частные производные третьего порядка функции (ср. пример 1) есть:

Замечание 2. Восемь частных производных третьего порядка в силу теоремы 2 сводятся к четырем:

Замечание 3. Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого и высших порядков функции а также функций трех и большего числа аргументов. Для всех случаев имеют место теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2.