§ 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка
имеет бесчисленное множество решений (см. примеры § 479). Как правило, через данную точку рассматриваемой области (§ 478) проходит одна-единственная интегральная линия. Соответствующее решение уравнения (1) называется частным решением, совокупность всех частных решений называется общим решением. Общее решение дифференциального уравнения (1) стараются представить в виде некоторой функции
которая дала бы любое частное решение (при надлежаще выбранном значении С). Такое представление иногда невозможно даже теоретически, а на практике удается лишь для немногих (но важных) классов уравнений (§§ 482—486).
Частное же решение, проходящее через данную точку 
можно всегда найти, если не в виде точного выражения через элементарные функции, то приближенно (с любой точностью; §§ 490, 491). Числа 
называются начальными значениями.
Интеграл дифференциального уравнения (1) называется общим, если он равносилен общему решению, и частным, если он равносилен одному частному решению или нескольким.
Пример 1. Найдем частное решение уравнения
(§ 479, пример 1) при начальных значениях 
Интегральные линии уравнения (3) есть окружности с центром (0; 0). Через точку 
проходит интегральная линия 
Это уравнение есть частный интеграл уравнения (3). Он равносилен двум частным решениям:
Второе является искомым (первое не проходит через 
Пример 2. Частное решение уравнения (3), проходящее через точку 
имеет вид
В случаях, когда 
т. е. когда точка 
лежит на оси 
частное решение (согласно замечанию к примеру 1 § 479) имеет вид
В точке 
(начало координат) частного решения нет.
Совокупность частных решений (4), (5), (6), (7) образует общее решение дифференциального уравнения (3).
Если обозначить постоянную величину 
через 
то общее решение можно записать в виде
Уравнение
равносильное общему решению (8), есть общий интеграл уравнения (3).
