§ 400. Разложение функции в степенной ряд

Разложить функцию в степенной ряд, расположенный по степеням значит составить ряд вида

у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной функции всюду внутри промежутка сходимости.

Теорема. Если функция разлагается в степенной ряд (1), то разложение единственно, и ряд (1) совпадает с рядом Тейлора, расположенным по степеням

Пояснение. По условию в промежутке сходимости имеем тождественно:

Значит (§ 398, теорема 1), функция обладает производными любого порядка, и во всех точках промежутка сходимости мы имеем:

При формулы (2) и (3) дают:

т. е. разложение (2) единственно и совпадает с рядом Тейлора для функции

Пример 1. Найти значение пятой производной функции

Непосредственное вычисление утомительно. Но функцию легко разложить в ряд, расположенный по степеням выполняя деление (§ 397). Получается разложение

в промежутке Но ряд (5) есть ряд Тейлора функции расположенный по степеням Значит, коэффициент дает значение т. е. Так же найдем:

Определение. Функция разлагающаяся в ряд, расположенный по степеням называется аналитической в точке

Пример 2. Функция — не аналитическая в точке (§ 399, пример 4); та же функция — аналитическая в точке (и в любой точке ).

Замечание. Функция определенная в точке может быть не аналитической в этой точке по одной из трех причин:

1. Она может не иметь при конечной производной какого-либо порядка; так, функция не аналитическая в точке так как здесь первая производная бесконечна.

2. Ряд Тейлора функции обладая ненулевым радиусом сходимости, может иметь сумму, не равную

3. Радиус сходимости ряда Тейлора функции может равняться нулю.

Практическое значение имеет лишь первый тип. В примере 3 рассмотрена функция второго типа.

Известные в настоящее время примеры функций третьего типа слишком сложны.

Пример 3. Определим функцию (рис. 408) формулой (при ). При положим

Рис. 408

У этой функции все производные в точке равны нулю. Значит, у функции все производные будут иметь те же значения, что и соответствующие производные от , т.е. ряд Тейлора для функции будет:

Этот ряд обладает ненулевым радиусом сходимости но его сумма (она составляет ) не равна