§ 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка

Линия (рис. 470), изображающая какой-либо интеграл дифференциального уравнения

называется интегральной линией этого уравнения.

Производная есть угловой коэффициент касательной к интегральной линии. Еще до того, как найдена интегральная линия, проходящая через данную точку мы можем из уравнения (1) найти у и провести через прямую Последняя укажет направление искомой интегральной линии. Множество прямых соответствующих всевозможным точкам рассматриваемой области, называется полем направлений уравнения (1).

Задача интегрирования уравнения (1) геометрически формулируется так: найти линии, у которых направление касательной всюду совпадает с направлением поля.

Если поле направлений изобразить короткими и густо расположенными черточками (см. рис. 471, 472), то интегральные кривые можно построить (приближенно) на глаз.

Пример 1. На рис. 471 изображено поле направлений уравнения

Уравнение (2) выражает, что направление поля в точке перпендикулярно прямой угловой коэффициент направления поля есть а угловой коэффициент

Рис. 470

Рис. 471

прямой есть Легко усмотреть, что интегральные линии есть окружности с центром в точке О. Следовательно, интегралы уравнения (2) имеют вид

где постоянная, которая может принимать любое положительное значение. Функции

являются решениями уравнения (2), что легко проверить.

Замечание. Согласно § 478, точки оси ОХ надо исключить из рассмотрения, так как функция

У в этих точках не определена. Однако мы и в этих точках изображаем направление поля (вертикальными черточками). Тем самым мы расширяем смысл уравнения (2) (в соответствии с его геометрическим смылом).

Именно запись (2) мы понимаем как совокупность двух уравнений:

Во втором уравнении рассматривается как функция аргумента у. В соответствии с этим мы считаем решениями не только интегралы (4), но также и интегралы

Уравнения (2а) равнозначны во всех точках, не лежащих на осях Второе из уравнений (2а) заменяет первое во всех точках оси ОХ (кроме точки О). Точка О все же остается исключенной. Это и естественно: через нее не проходит ни одна интегральная линия (окружность вырождается в точку).

Уравнение (2), рассматриваемое в расширенном смысле, предпочтительно записывать в виде

Здесь подчеркнуто равноправие переменных Уравнение (5) можно преобразовать к виду Значит, есть постоянная, и мы снова получаем интеграл (3).

Пример 2. На рис. 472 изображено поле направлений уравнения

Интегральные линии — прямые Понимая уравнение (6) в расширенном смысле (см. выше замечание), мы можем изобразить поле направлений также и в любой точке оси (кроме точки О). Получаем вертикальные черточки, расположенные вдоль вертикальной прямой. Значит, эта прямая присоединяется к интегральным линиям

В точке О направление поля остается неопределенным: здесь накапливаются интегральные линии всевозможных направлений. Функции

а также функции

являются решениями (интегралами) уравнения (6). Интегралами являются также уравнения

Уравнение (6) записывается в виде

Рис. 472

Если разделить уравнение (9) на то получим: Отсюда получаем интеграл . Разделив (9) на получим: (здесь ).

Пример 3. Поле направлений уравнения вида рассматривалось в § 295 (примеры Интегральные линии отстоят друг от друга на равном расстоянии (по направлению оси OY).