§ 193. Действительные (вещественные) числа

Измерение осуществляется на практике с помощью какого-либо инструмента. Результат измерения выражается некоторым рациональным числом (например, толщина металлического волоска, измеренная

микрометром, выразится в миллиметрах, скажем, числом 0,023). Всякий инструмент обладает ограниченной точностью. Поэтому для практической деятельности запас рациональных чисел не только достаточен, но даже избыточен. Однако в математической теории, где измерения предполагаются абсолютно точными, одними только рациональными числами обойтись нельзя. Так, никаким рациональным числом нельзя точно выразить длину диагонали квадрата, если его сторону принять за единицу измерения; рациональным числом нельзя точно выразить синус угла 60°, косинус угла 22°, тангенс угла 17°, отношение окружности к диаметру и т. д. Вообще отношение несоизмеримых отрезков нельзя точно выразить рациональным числом.

Чтобы точно выразить отношение несоизмеримых отрезков, надо ввести новые числа — иррациональные. Иррациональное число выражает длину отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба. Рациональные и иррациональные числа, взятые в совокупности, называются действительными или вещественными (в противоположность мнимым числам; см. замечание 2). С помощью действительных чисел можно точно выразить длину любого отрезка.

Иррациональное число не может точно равняться рациональному. Но для всякого иррационального числа можно найти рациональные (в частности, десятичные) числа, приближенно равные ему (с избытком и с недостатком), при этом погрешность можно сделать сколь угодно малой.

Пример. Для числа lg 3 (оно иррациональное) можно найти приближенные значения 0,4771 (недостаточное) и 0,4772 (избыточное); они отличаются на 0,0001, так что погрешность каждого из них по абсолютной величине не превосходит 0,0001. Если требуется, чтобы погрешность не превышала 0,00001, то можно найти значения 0,47712 (недостаточное) и 0,47713 (избыточное). О способах вычисления логарифмов см. § 272, а также § 242.

Замечание 1. Рациональные числа тоже приходится выражать приближенно. Так, вместо дроби часто берут ее недостаточные значения 0,33, 0,333 и т. д. (в зависимости от требуемой степени точности) или избыточные значения 0,34, 0,334 и т. д.

Замечание 2. Мнимое число имеет вид где действительное число, «мнимая единица», определяемая равенством (этому равенству не удовлетворяет ни одно действительное число). Выражение вида а называется комплексным числом. Комплексные числа введены в алгебру в середине 16 века в связи с решением кубического уравнения. С конца 17 века они применяются и в анализе.

В этой книге всюду, где не оговорено обратного, все числа предполагаются действительными.