§ 432. Инвариантность выражения ... полного дифференциала

Выражение представляет (§ 430) полный дифференциал функции , если рассматриваются как аргументы. Если же переменные сами являются функциями одного, двух или большего числа аргументов, то записанное выражение, как правило, не представляет дифференциала. Напротив, выражение

всегда представляет полный дифференциал функции (ср. § 234).

Пример 1. Рассмотрим функцию аргументов Имеем:

Эта формула верна и в том случае, когда х, у есть функции аргументов заданные формулами

Действительно, в этом случае имеем:

Тот же результат получим по формуле (1), если в нее вместо подставить выражения (2), а вместо выражения

найденные с помощью формул (2). Если же вместо (1) взять формулу

то она будет неверна при аргументах

Пример 2. Формула (1) верна и в том случае, когда х и у — функции одного аргумента.

Пример 3. Формула остается верной, если положить