§ 67. Три типа линий второго порядка

Малый дискриминант 5 (§ 66) для эллипса положителен (см. пример 1 § 66), для гиперболы отрицателен, для параболы равен нулю.

Доказательство. Эллипс представляется уравнением . У этого уравнения малый дискриминант При преобразовании координат сохраняет свою величину, а при умножении обеих частей уравнения на какое-либо число дискриминант умножается на (§ 66, замечание). Следовательно, дискриминант эллипса положителен в любой системе координат. В случае гиперболы и в случае параболы доказательство аналогично.

Согласно с этим различают три типа линий второго порядка (и уравнений второй степени):

1. Эллиптический тип, характеризующийся условием

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс (§ 58, пример 5) и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (§ 58, пример 4).

2. Гиперболический тип, характеризующийся условием

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых (§ 58, пример 1).

3. Параболический тип, характеризующийся условием

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

Пример 1. Уравнение

принадлежит к параболическому типу, так как

Поскольку большой дискриминант

не равен нулю, то уравнение (1) представляет нераспадающуюся линию, т. е. параболу (ср. §§ 61—62, пример 2).

Пример 2. Уравнение

принадлежит к гиперболическому типу, так как

поскольку

то уравнение (2) представляет пару пересекающихся прямых. Их уравнения можно найти по способу § 65.

Пример 3. Уравнение

принадлежит к эллиптическому типу, так как

Поскольку

то линия не распадается и, значит, является эллипсом.

Замечание. Однотипные линии геометрически связаны так: пара пересекающихся мнимых прямых (т. е. одна действительная точка) есть предельный случай эллипса, «стягивающегося в точку» (рис. 88); пара пересекающихся действительных прямых — предельный случай гиперболы, приближающейся к своим асимптотам (рис. 89); пара параллельных прямых — предельный случай параболы, у которой ось и одна пара точек симметричных относительно оси (рис. 90), неподвижны, а вершина удаляется в бесконечность.

Рис. 88

Рис. 101

Рис. 90