§ 328. Интеграл функции, имеющей разрыв

Определение 1. Пусть функция имеет разрыв в точке , а в остальных точках промежутка непрерывна.

Если интеграл

имеет конечный предел, когда стремится к (оставаясь меньше то этот предел называется несобственным интегралом от а до функции и обозначается так же, как и одноименный собственный интеграл:

Формула (2) для собственных интегралов доказывается; для несобственных она принимается за определение.

Аналогично определяется несобственный интеграл, когда имеет разрыв только на конце а промежутка

Сходимость и расходимость несобственного интеграла понимаются, как в § 327.

Определение 2. Если имеет разрыв только во внутренней точке с промежутка то

Предполагается, что в правой части оба несобственных интеграла сходятся.

Формула (3) для собственных интегралов доказывается; здесь же она служит определением несобственного интеграла

Замечание 1. Определение 2 распространяется на случай, когда внутри промежутка есть две, три и т. д. точки разрыва. Так, для двух точек имеем:

Пример 1. Найти

Данный интеграл — несобственный, так как подынтегральная функция разрывна (обращается в бесконечность) при . Интеграл сходится, так как функция

стремится к пределу при Следовательно,

Геометрически: площадь бесконечной полосы (т. е. предел площади при стремлении точки S к А; рис. 346) равна площади полукруга значит, заштрихованная фигура, уходящая в бесконечность, равновелика сектору

Рис. 346

Пример 2. Найти

Интеграл — несобственный, так как подынтегральная функция внутри промежутка обращается в бесконечность при Согласно определению 2 имеем:

По определению 1

Аналогично для второго слагаемого формулы (6). Окончательно получаем:

Геометрически: площадь бесконечной полосы (рис. 347) втрое больше площади прямоугольника (так что «бесконечный шпиль» равновелик квадрату, построенному на

Пример 3. В выражении подынтегральная функция разрывна в точке При этом несобственные интегралы расходятся (так как интегралы имеют бесконечные пределы при ). Следовательно, данное выражение не представляет никакого несобственного интеграла (в смысле определения 2). Бесконечная полоса (рис. 348) под линией имеет бесконечную площадь.

Рис. 347

Рис. 348

Замечание 2. Применив основную формулу интегрального исчисления

к выражению мы получили бы отрицательное число

-2; этот нелепый результат (подынтегральная функция всюду положительна!) получается потому, что выражение не имеет смысла. Если же несобственные интегралы

входящие в (3), сходятся, то для несобственного интеграла формула (7) всегда верна.

Замечание 3. Относительно интегрирования по частям и способа подстановки можно повторить сказанное в замечании 1 § 327.