§ 165а. Правые и левые пары прямых

Определение. Пара скрещивающихся неперпендикулярных прямых (см. рис. 180) называется правой, если для наблюдателя, помещающегося на продолжении какой-либо секущей за прямую кратчайший поворот прямой в положение, параллельное совершается против часовой стрелки. В противном случае пара называется левой.

Замечание 1. Правая пара остается правой, а левая — левой вне зависимости не только от выбора точек на прямых но также и от обозначения этих прямых (первую можно назвать а вторую Действительно, при этом вращение будет происходить в обратном направлении, но наблюдатель поместится теперь на продолжении секущей за прямую так что для него направление вращения остается прежним.

Замечание 2. Для прямых лежащих в одной плоскости, а также для перпендикулярных прямых понятия правой и левой пары теряют смысл.

Пример. Если при ввинчивании или вывинчивании штопора его ручка поворачивается на угол 60°,

то начальное и конечное положения оси ручки образуют правую пару прямых (если за прямую принять ось ручки в ее верхнем положении, то наблюдатель, о котором говорится в определении, должен смотреть снизу; в противном случае — сверху). При повороте ручки штопора на угол 120° начальное и конечное положения ее оси образуют левую пару.

Признак правизны и левизны. Пусть какие-либо (ненулевые) векторы, коллинеарные прямым . Если смешанное произведение имеет тот же знак, что и скалярное произведение то пара правая; если знаки противоположны, то — левая.

Когда прямые лежат в одной плоскости; когда прямые перпендикулярны. В обоих этих случаях пара не является ни правой, ни левой (см. замечание 2).

Знак кратчайшего расстояния между двумя прямыми. Кратчайшему расстоянию между скрещивающимися неперпендикулярными прямыми можно приписать знак, считая это расстояние положительным, если пара — правая, и отрицательным, если она — левая.

Обозначая буквой кратчайшее расстояние между прямыми с учетом его знака, имеем вместо (1) § 165 следующую формулу:

Она пригодна также для пересекающихся (но не перпендикулярных) прямых и дает в этом случае Для перпендикулярных прямых формула (1) непригодна, так как первый сомножитель становится неопределенным, принимая вид (если прямые не перпендикулярны, то первый сомножитель равен

либо +1, либо -1). Для параллельных прямых формула (1) также непригодна, так как второй сомножитель становится неопределенным (см. замечание 2).