§ 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул

Данные, получаемые измерением, содержат ошибку, проистекающую из неточности измерительных инструментов. Положительное число, заведомо превышающее эту ошибку по абсолютному значению (или в худшем случае равное этой ошибке), называется предельной абсолютной погрешностью, или, короче, предельной погрешностью. Отношение предельной погрешности к абсолютному значению измеряемой величины называется предельной относительной погрешностью.

Пример 1. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Ошибка неизвестна, но она заведомо меньше чем 0,1 см. Поэтому можно принять 0,1 см за предельную погрешность. Относительная предельная погрешность равна . Округляя в сторону увеличения, находим 0,6%.

Нахождение предельной погрешности. Пусть функция у вычисляется по точной формуле но значение получается измерением и потому содержит ошибку. Тогда предельная абсолютная погрешность функции находится по формуле

где есть предельная погрешность аргумента. Величина округляется в сторону увеличения (ввиду неточности самой формулы).

Пример 2. Сторона квадрата, найденная измерением, оказалась равной 46 м. Предельная погрешность

равна 0,1м. Найти предельную погрешность для площади квадрата.

Решение. Имеем: (х - сторона квадрата, у — площадь). Отсюда . В нашем примере Значит, Предельная абсолютная погрешность равна (округленно) Предельная относительная погрешность равна .

Предельную относительную погрешность можно найти также с помощью логарифмического дифференцирования (§ 244) по формуле

В частности, при тогда имеем:

т. е. предельная относительная погрешность степени хправна n-кратной предельной относительной погрешности аргумента.

Пример 3. При условиях примера 2 предельная относительная погрешность площади равна

Пример 4. Измерение ребра куба дало см. Предельная погрешность 0,05 см. Какова предельная относительная погрешность для объема куба?

Решение. Предельная относительная погрешность для равна ; для она равна .

Правило 1. Предельная относительная погрешность произведения двух или нескольких сомножителей равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Правило 2. Предельная относительная погрешность дроби равна сумме предельных относительных погрешностей числителя и знаменателя.

Эти правила вытекают из §§ 239, 2401.

Пример 5. Для нахождения плотности тела найдена его масса и объем вытесненной им воды Предельная абсолютная погрешность для равна для она равна 1 г. Определить предельную относительную погрешность для плотности.

Решение. Плотность у равна Имеем:

Пример 6. Высота и радиус основания цилиндра измерены с точностью до 1% каждая. Найти предельную относительную погрешность: 1) для площади боковой поверхности для объема V цилиндра.

Решение. Имеем: Множитель точное число; погрешность его равна нулю. Относительная погрешность для есть , а для она равна