§ 118. Определитель третьего порядка
Во многих случаях, в частности при вычислении смешанного произведения, удобно пользоваться записью вида
Она представляет сокращенное обозначение выражения
Выражение (1) называется определителем третьего порядка.
Определители второго порядка, входящие в выражение (2), составлены следующим образом. Вычеркнем из таблицы (1) ту строку, и тот столбец, где стоит 
как показано на схеме:
Остающийся определитель входит в (2) множителем при вычеркнутой букве 
Аналогично получаются два других определителя формулы (2):
Надо помнить: средний член в формуле (2) имеет знак минус!
Пример 1. Вычислить определитель
Имеем:
Замечание 1. Так как 
то определитель третьего порядка можно представить еще и так:
Здесь все определители второго порядка имеют знак плюс.
Замечание 2. Вычисление по формуле (3) можно механизировать следующим образом. Припишем к таблице (1) два первых ее столбца; получим таблицу 
Берем из первой строки букву и спускаемся от нее по диагонали направо, как показано стрелкой в таблице (5):
Определитель второго порядка, на который указывает стрелка, умножается на 
Получаем 
Затем закрываем первый столбец, берем из первой строки букву 
(первую из оставшихся) и поступаем аналогично, как показано в таблице (6):
Получаем: 
Наконец, закрываем второй столбец и получаем: 
.
Пример 2. Вычислить определитель
Составляем таблицу (4)
и находим:
