§ 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую

(не проходящую через ), представляется уравнениями

или в векторной форме уравнениями

Взятое отдельно, уравнение (2) представляет плоскость (рис. 175), проведенную через перпендикулярно (§ 155), а уравнение (3) — плоскость проведенную через точку и прямую

Замечание. Если прямая проходит через точку то уравнение (3) обращается в тождество (через точку, взятую на прямой можно провести бесчисленное множество перпендикуляров , § 120). Пример. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (1; 0; 1) на прямую

Найти также основание перпендикуляра. Решение. Уравнения (1а) можно записать в симметричном виде (§ 151) так:

Искомый перпендикуляр представляется уравнениями

Рис. 175

или после упрощений

Координаты основания К перпендикуляра найдем, решив систему трех уравнений (16), (2в). Уравнение должно удовлетворяться само собой. Получаем .

Замечание. Система трех уравнений (1б), (3в) имеет бесчисленное множество решений (так как плоскость проходит через прямую а не пересекает ее).