§ 336. Объем тела по поперечным сечениям

Рассмотрим тело произвольной формы (рис. 367). Пусть известны площади всех его сечений, параллельных плоскости расстояние от сечения до плоскости Д). Тогда объем тела

Пояснение. Разобьем тело на параллельные слои; тело типичный представитель этих слоев. Строим цилиндр Его объем, равный есть элемент объема Отсюда вытекает формула (1) (ср. § 334 и § 335, пояснение).

Рис. 367

Пример 1. Найти объем V пирамиды (рис. 368) по площади основания и высоте .

Решение. Площадь сечения находим из пропорции

Согласно формуле (1)

Эта формула известна из элементарной геометрии, но там вывод намного сложнее.

Пример 2. Найти объем эллипсоида (§ 173) с осями

Решение. Сечение (рис. 369), параллельное главному эллипсу и отстоящее от него на расстояние есть эллипс с полуосями (§ 173)

Площадь сечения равна (§ 333, пример 3)

По формуле (1)

Рис. 368

Рис. 369

Конус с эллиптическим основанием и высотой имеет объем

(выводится так же, как и в примере 1), т. е. Значит, эллипсоид по объему вчетверо больше конуса, имеющего основанием одно из главных сечении, а вершиной — противоположную вершину эллипсоида. Этот результат найден Архимедом (для эллипсоида вращения).

Когда эллипсоид становится шаром получаем известную формулу