Пример 1. Найти объем V пирамиды
(рис. 368) по площади основания
и высоте
.
Решение. Площадь сечения
находим из пропорции
Согласно формуле (1)
Эта формула известна из элементарной геометрии, но там вывод намного сложнее.
Пример 2. Найти объем эллипсоида (§ 173) с осями
Решение. Сечение
(рис. 369), параллельное главному эллипсу
и отстоящее от него на расстояние
есть эллипс с полуосями (§ 173)
Площадь
сечения равна (§ 333, пример 3)
По формуле (1)
Рис. 368
Рис. 369
Конус с эллиптическим основанием
и высотой
имеет объем
(выводится так же, как и в примере 1), т. е.
Значит, эллипсоид по объему вчетверо больше конуса, имеющего основанием одно из главных сечении, а вершиной — противоположную вершину эллипсоида. Этот результат найден Архимедом (для эллипсоида вращения).
Когда эллипсоид становится шаром
получаем известную формулу