§ 251. Параметрическое задание линии

Всякую переменную величину определяющую положение точки на некоторой линии, называют параметром . В механике в качестве параметра рассматривается чаще всего время.

Координаты точки, лежащей на линии являются функциями параметра:

Уравнения называются параметрическими уравнениями линии (ср. § 152).

Если желательно найти уравнение, связывающее координаты х, у линии надо исключить из уравнений (см. примеры 1 и 2).

Может, однако, случиться так, что уравнение, полученное после исключения представляет такую линию, которую линия покрывает только частично (см. пример 3).

Пример 1. Пусть О (рис. 244) есть наивысшее положение материальной точки, брошенной под углом к горизонту, время, отсчитываемое от момента наивысшего подъема. Положение точки на траектории определяется величиной так что есть параметр. Параметрические уравнения траектории, отнесенной к системе будут:

Они выражают, что по горизонтальному направлению точка движется равномерно со скоростью

Рис. 244

а по вертикальному — равноускоренно ускорение свободного падения).

Исключив найдем уравнение

показывающее, что движение происходит по параболе.

Пример 2. Положение точки на окружности радиуса (рис. 245) определяется величиной угла так что есть параметр. Расположив оси, как на рис. 245, имеем параметрические уравнения окружности

Чтобы исключить возведем (6) и (7) в квадрат и сложим; получим:

Пример 3. Рассмотрим линию, представляемую параметрическими уравнениями

Исключая получаем уравнение представляющее параболу (рис. 246). Линия (9) есть половина этой параболы соответствующая положительным значениям

Рис. 245

Рис. 246