§ 492. О составлении дифференциальных уравнений

Процесс составления дифференциального уравнения по условию задачи (геометрической, физической или технической) состоит в том, что мы выражаем на математическом языке связь между переменными величинами и их бесконечно малыми приращениями. Иногда дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений — за счет того, что они учтены заранее. Так, представляя скорость выражением мы не используем приращений но они фактически учтены, так как

При составлении дифференциальных уравнений первого порядка бесконечно малые приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Погрешность, совершаемая при этом, автоматически устраняется при переходе к пределу. Вообще всякую бесконечно малую величину можно заменить на эквивалентную ей, например бесконечно малую дугу соответствующей хордой или наоборот.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений дать нельзя. Как и при составлении алгебраических уравнений, здесь часто требуется изобретательность.

Пример 1. В резервуаре имеется рассола, содержащего растворенной соли. Каждую минуту рассола вытекает из резервуара, пресной воды втекает в него. Перемешивание сохраняет одинаковую концентрацию соли во всем резервуаре. Сколько соли останется в резервуаре через час?

Решение. Обозначим через массу соли в резервуаре через время, прошедшее с начального момента (в мин).

За промежуток времени из резервуара уходит соли (ведь убывающая функция времени, значит, отрицательная величина, положительная).

Чтобы составить уравнение, вычислим убыль соли другим путем. В момент в резервуаре находится жидкости (втекло и утекло ); в ней растворено соли. Значит, в одном литре рассола содержится соли. За время из резервуара вытекает рассола; значит, масса соли уменьшится на

Получаем дифференциальное уравнение

Разделяя переменные и учитывая начальные условия получаем:

т.е.

или

Подставляя t = 60 мин в (3а), найдем искомую массу соли

При менее округленных данных лучше взять формулу (3). Умножив обе ее части на модуль (§ 242), перейдем от натуральных логарифмов к десятичным.

Замечание. При составлении уравнения (1) мы дважды допустили погрешность: во-первых, мы взяли вместо во-вторых, мы приняли, что за время убыль соли составила т. е. что концентрация рассола равна в течение всего промежутка На самом деле она равна лишь в начале промежутка, а затем уменьшается. Но эти две погрешности автоматически компенсируются.

Действительно, в течение малого промежутка времени концентрация рассола незначительно отличается от значит, за это время количество соли уменьшится хотя и не в точности на , но примерно на такую величину. Следовательно, имеем приближенное равенство

или

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше ; другими словами, есть предел отношения при этот предел есть производная .

Следовательно, производная в точности равна :

Это точное равенство равносильно уравнению (1).

Пример 2. Для моста строится каменный бык высотой с круговыми горизонтальными сечениями. Бык рассчитан на нагрузку (помимо собственного веса). Плотность материала . Допустимое давление составляет . Найти площади верхнего и нижнего оснований, а также форму осевого сечения быка (при наиболее экономном расходе стройматериала).

Решение. Площадь верхнего основания при допустимом давлении может выдержать нагрузку а по условию Следовательно,

Площадь горизонтального сечения возрастает с понижением уровня, так как, помимо нагрузки на площадь давит вышележащая часть быка.

Обозначим через расстояние от сечения на рис. 478) до верхнего основания. Выделим бесконечно малый горизонтальный слой Площадь его нижнего основания превышает площадь верхнего основания на Поэтому у нижнего основания предельная нагрузка на больше, чем у верхнего. С другой стороны,

Рис. 478

нагрузка больше, чем нагрузка сечения на величину, равную весу слоя т. е. на Получаем дифференциальное уравнение

Разделяя переменные и интегрируя при начальных условиях получаем:

откуда

Чтобы найти площадь нижнего основания, надо подставить (при Переходя к десятичным логарифмам (§ 242), получим:

откуда

Форма осевого сечения характеризуется уравнением меридиана Обозначим радиус сечения через тогда и равенство (7) дает:

Таково уравнение меридиана. Линия (9) называется логарифмикой.