§ 318. Оценка определенного интеграла

Теорема 1. Если есть наименьшее, наибольшее значение функции в промежутке , то значение интеграла заключено между . При имеем:

При знаки неравенства меняются на противоположные.

Геометрически: фигура, заштрихованная на рис. 337, по площади больше прямоугольника и меньше

Пример. Оценить интеграл

Решение. Наименьшее значение функции в промежутке есть наибольшее значение Наконец, Значит, интеграл содержится между

Точное его значение (§ 314, пример) равно 20.

Теорема 2. Если в каждой точке промежутка соблюдаются неравенства

то

Рис. 337

Геометрически:

Теорема 1 есть частный случай этой теоремы

Замечание. Теорема 2 утверждает, что неравенства можно интегрировать. Дифференцировать же неравенства нельзя.

Рис. 338