§ 40. Эллипс как сжатая окружность

Через центр О окружности радиуса а (рис. 35) проведем взаимно перпендикулярные диаметры На радиусах отложим от точки О равные отрезки длиной (меньшей, чем а). Из каждой точки окружности опустим перпендикуляр на диаметр и на этом перпендикуляре отложим от его основания отрезок так, чтобы

Это построение преобразует каждую точку в другую соответствующую ей точку лежащую на том же перпендикуляре причем получается из уменьшением в одном и том же отношении Такое преобразование называется равномерным сжатием. Прямая называется осью сжатия.

Линия в которую преобразуется окружность после равномерного сжатия, называется эллипсом.

Рис. 35

Отрезок (а часто и прямая т. е. ось сжатия) называется большой осью эллипса.

Отрезок (а часто и прямая называется малой осью эллипса (по построению ). Точка О называется центром эллипса. Точки называются вершинами эллипса.

Отношение а называется коэффициентом сжатия эллипса. Величина (т. е. отношение ) называется сжатием эллипса. Она обозначается буквой а.

Эллипс симметричен относительно большой и малой осей, а значит, и относительно центра.

Окружность можно рассматривать как эллипс с коэффициентом сжатия

Каноническое уравнение эллипса. Если оси эллипса принять за оси координат, то эллипс представляется уравнением

Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Пример 1. Окружность радиуса см подвергнута равномерному сжатию с коэффициентом сжатия После преобразования получится эллипс с большой осью и малой осью . Сжатие этого эллипса . Его каноническое уравнение есть

Пример 2. При проецировании окружности на какую-нибудь плоскость диаметр (рис. 36), параллельный этой плоскости, проецируется в натуральную величину, а все хорды, перпендикулярные диаметру, сокращаются в отношении, равном где угол между плоскостью окружности и плоскостью Поэтому проекция окружности есть эллипс с большой осью и коэффициентом сжатия

Пример 3. Земной меридиан точнее принять не за окружность, а за эллипс. Земная ось есть малая ось этого эллипса. Длина ее (округленно) Длина большой оси равна (округленно) Найти коэффициент сжатия и сжатие а этого эллипса.

Решение.

Рис. 36