§ 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным

Из множества первообразных для данной функции только одна может принимать данное значение при данном значении аргумента . Если известен неопределенный интеграл

то соответствующее значение постоянной С находится из соотношения

Пример 1. Найти ту первообразную для функции которая принимает значение 3 при Решение. Имеем:

Постоянную С находим из соотношения

Получаем Подставляя это значение в выражение (1), находим искомую первообразную функцию

Геометрически задачу можно сформулировать так: найти ту интегральную линию функции которая проходит через точку (2; 3). Искомая линия есть парабола (см. рис. 324).

Пример 2. Найти ту первообразную для функции - которая принимает значение при

Решение. При отрицательных неопределенный интеграл функции (§ 294, пример 3) имеет вид

По условию имеем:

откуда

Искомая функция есть . Ей соответствует интегральная линия на рис. 325.