§ 287. Приемы построения графиков

График функции, заданной формулой строится по точкам, которые затем соединяются плавной линией. Но если брать точки как попало, то можно допустить грубую ошибку.

Чтобы построить график с большой точностью при небольшом числе точек, полезно предварительно выяснить его характерные особенности. Для этого надо:

1. Установить, в какой области функция определена и нет ли у нее разрывов. Для каждого бесконечного разрыва учесть знак справа и слева; получим вертикальные асимптоты графика (§ 285).

2. Найти первую и вторую производные а также определить, нет ли точек, где или не существует.

3. Найти все экстремумы функции (§§ 278 и 279); получим наивысшие точки горбов и наинизшие точки впадин.

4. Найти все точки перегиба (§ 283) и наклон касательной в этих точках.

5. Если рассматриваемая область изменения аргумента бесконечна, то установить, нет ли горизонтальных и наклонных асимптот (§ 286).

Найденные результаты по мере их получения полезно заносить в таблицу (см. примеры). Перенеся их на координатную сетку, получим общую картину графика. Добавив немногие промежуточные точки, начертим график с достаточной точностью.

Пример 1. Построить график функции

1. Функция определена и непрерывна всюду, вертикальных асимптот нет.

2. Находим:

Обе производные всюду существуют и конечны.

3. Для нахождения экстремумов решаем уравнение Находим критические значения

Заносим в таблицу эти значения, а также соответствующие значения функции

В графе у ставим нули.

Для исследования на экстремум здесь удобно применить вторую производную, поэтому откладываем исследование до п. 4.

4. Для нахождения точек перегиба решаем уравнение Получим найденное прежде значение кроме того,

Заносим в таблицу эти значения, а также соответствующие значения функции и ее первой производной:

В графе ставим нули.

Определяем знак до и после перехода через каждое из значений

и вносим пометки в соответствующие клетки таблицы. Так, в третьей строке графы пометки означают, что меняет знак с минуса на плюс при переходе через слева направо. Так как в каждой из точек вторая производная меняет знак, то во всех трех точках имеем перегиб.

Теперь определяем знаки в критических точках :

В первой строке графы ставим минус, во второй — плюс. При имеем максимум, при минимум.

5. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как

Наносим (рис. 308) найденные точки на сетку и намечаем направления касательных. Добавив еще три точки получаем довольно точный график функции.

(см. скан)

Пример 2. Построить график функции

1. Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки где она имеет бесконечный разрыв. Как справа, так и слева от точки разрыва функция имеет знак минус (в графу у заносим ). Получаем асимптоту Обе бесконечные ветви направлены вниз (рис. 309).

2. Находим:

Обе производные существуют всюду, кроме точки разрыва.

Рис. 308

Рис. 309

3. Уравнение имеет два корня:

Соответствующие значения у:

По знаку вблизи критических точек (см. ниже таблицу) видим, что в точке максимум, а в точке нет экстремума.

4. Уравнение имеет единственный корень по знаку второй производной (см. таблицу) можно видеть, что здесь — перегиб.

5. Ищем наклонные асимптоты; как при так и при имеем:

Значит, прямая служит асимптотой для двух бесконечных ветвей.

Правая ветвь лежит выше, левая — ниже асимптоты, так как выражение при сохраняет знак

плюс, а при минус. Впрочем, это обнаружится и из чертежа, когда будут отмечены точки

(см. скан)