§ 430. Полный дифференциал

Определение. Пусть полное приращение (§ 427) функции можно разбить на сумму двух членов:

где ни один из коэффициентов не зависит ни от ни от ни от а величина (рассматриваемая как функция от имеет высший порядок относительно расстояния (§ 423). Тогда первый член

называется полным дифференциалом функции (или просто дифференциалом) и обозначается (ср. §§ 228,428).

Пример 1. Возьмем функцию

Мы имеем (§ 427, пример):

Коэффициенты не зависят ни от ни от , ни от величина имеет высший порядок относительно (ср. § 423, пример 2). Следовательно, выражение есть полный дифференциал функции

Теорема. Коэффициенты соответственно равны частным производным функции :

Иначе говоря, полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов (§ 428):

или

Пример 2. В формуле (4) коэффициенты есть частные производные функции по аргументам

Замечание 1. В силу формулы (7) полные дифференциалы аргументов соответственно равны . Поэтому имеем:

Например (ср. пример 1),

Формула (9) инвариантна (см. § 432) и потому предпочтительна перед (7).

Замечание 2. Если и есть функция одного аргумента, то полный дифференциал обращается в обыкновенный, а единственная частная производная — в обыкновенную.