§ 397. Действия со степенными рядами

Пусть даны два степенных ряда:

Пусть радиус сходимости ряда (1) и радиус сходимости ряда (2). Обозначим через меньший из них (если они равны, то общее их значение).

Если ряды (1), (2) почленно сложить, вычесть или перемножить (по схеме умножения многочлена на многочлен; § 381), то получим новые степенные ряды. Их радиусы сходимости в худшем случае равны а могут и превосходить Их суммы соответственно

равны .

Почленное деление ряда (1) на ряд (2) выполнимо по схеме § 382 при условии, что Если то радиус сходимости полученного ряда отличен от нуля, но не превосходит может даже случиться так, что меньше каждого из радиусов (см. пример 4 и замечание к формуле (4) § 401). Сумма нового ряда (в промежутке его сходимости) равна

Если то почленное деление вовсе невозможно при (так как частное бесконечно велико при и его нельзя представить рядом, расположенным по степеням Если же то почленное деление невозможно, когда низшая степень делимого меньше низшей степени делителя (по той же причине). В противном же случае деление возможно, и новый ряд в промежутке имеет сумму

Пример 1. В промежутке имеем:

Складывая почленно, находим:

Вычитая почленно (4) из (3), получаем:

Перемножая почленно (ср. § 381, пример 1), имеем:

Разделив почленно ряд (3) на ряд (4) (ср. § 382, пример), находим:

Ряды имеют по теореме § 394 радиус сходимости как и ряды (3) и (4). Формулы легко проверить: их левые части — геометрические прогрессии (в (8), начиная со второго члена).

Пример 2. В промежутке имеем (§ 272, пример 1)

Заменяя на получаем:

Так как то при почленном умножении все члены, кроме свободного, должны взаимно уничтожиться, что и происходит на самом деле.

Пример 3. При почленном делении ряда (9) на ряд (10) получаем ряд

Закон следования коэффициентов не виден сразу, но, зная, что ряд (11) сходится в некотором промежутке и имеет там сумму можно представить ряд (11) в виде

Ряд (12), как и ряды (9), (10), имеет по теореме § 394 бесконечный радиус сходимости.

Пример 4. Будем рассматривать двучлены как степенные ряды, у которых коэффициенты всех членов, кроме двух первых, равны нулю. Радиусы сходимости этих рядов бесконечны. При почленном делении на получится степенной ряд

Его члены, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем Сумма ряда (13) в промежутке его сходимости равна но радиус сходимости не бесконечен; он равен единице.