§ 317. Механический смысл определенного интеграла

1. Путь материальной точки. Пусть материальная точка движется в одном направлении со скоростью

— время движения). Требуется найти путь пройденный точкой с момента по момент Если скорость постоянна, то

Если же скорость меняется, то для нахождения надо разбить промежуток времени на частичные промежутки

Пусть какой-либо момент времени промежутка какой-либо момент времени промежутка

Величина есть скорость в момент произведение выражает приближенно путь, пройденный за первый промежуток времени. Точно так же приближенно выражает путь за второй промежуток и т. д. Сумма

выражает путь тем точнее, чем меньше частичные промежутки. Предел суммы интеграл

дает точное значение пути

Пример. Скорость материальной точки растет пропорционально времени, прошедшему от начального момента:

Найти путь, пройденный от начального момента времени до момента

Решение. Искомый путь выражается интегралом функции нижний предел равен нулю, верхний равен

(§ 315, n. 4). Мы знаем (§ 314, пример), что Значит (§ 315, п. 4), При имеем:

2. Работа силы. Если постоянная сила действует на материальную точку, движущуюся по направлению силы, то работа силы на участке находится по формуле

Если же сила сохраняет направление движения, но величина ее меняется в зависимости от пути т. е. то работа находится по формуле