§ 319. Теорема о среднем интегрального исчисления

Определенный интеграл равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке промежутка

Пояснение. Будем смещать прямую (рис. 339) от положения к положению В начале движения площадь меньше чем (ср. § 318, теорема 1), в конце — больше. В некоторый промежуточный момент должно иметь место равенство Основанием прямоугольника служит , а высотой — ордината NM, соответствующая точке промежутка АВ. Следовательно

Замечание 1. Теорема о среднем устанавливает, что уравнение (1), где рассматривается как неизвестное, имеет по меньшей мере один корень, заключенный между

Пример. При формула (1) принимает

Рис. 339

Теорема утверждает, что лежит между Действительно, интеграл равен и формула (2) дает:

т.е. среднее арифметическое между

Замечание 2. Теорема о среднем дифференциального исчисления (§ 264) отличается от теоремы настоящего параграфа по существу только обозначениями. Обозначим подынтегральную функцию формулы (1) через Формула (1) примет вид

Здесь левая часть равна (см. ниже § 322), и мы получаем формулу Лагранжа

(в применении к функции обладающей непрерывной производной).

Рис. 340