§ 507. Конхоида Никомеда

1. Исторические сведения. Никомед, древнегреческий ученый, жил в 250-150 гг. до н. э. Линию, названную им конхоидой, по сходству ее с раковиной (PAQ на рис. 485) он ввел для графического решения задачи о разделении данного угла а на три равные части (трисекция угла).

Как мы теперь знаем, эта задача решается с помощью линейки и циркуля только при специальном подборе угла а например, при Так, задача о трисекции угла неразрешима, если пользоваться только линейкой и циркулем, т. е. если строить только прямые и окружности. Однако задача решается, если привлечь еще и другие линии, — в частности конхоиду. Для ее построения Никомед сконструировал специальный инструмент (конхоидограф).

2. Определение и построение. Даны: точка О (полюс), прямая (основание) и отрезок Из полюса О (рис. 485) проводим произвольную прямую пересекающую основание в точке На прямой откладываем в обе стороны от отрезки Геометрическое место точек мы теперь называем конхоидой Никомеда. Линия, описываемая точкой, лежащей на продолжении отрезка за точку на рис. 485) называется внешней ветвью конхоиды; линия, описываемая другой точкой ( на рис. 485), — внутренней ветвью.

Замечание. Сам Никомед (а также позднейшие авторы вплоть до конца 17 в.) именовал конхоидой линию, называемую сейчас внешней ветвью. Внутренняя ветвь рассматривалась как особая линия и называлась «второй», «третьей» или «четвертой» конхоидой в зависимости от особенностей ее формы (см. ниже).

3. Уравнение в прямоугольной системе (начало координат — в полюсе ось абсцисс направлена по лучу точка В — проекция полюса на основание):

где есть расстояние от полюса до основания.

Строго говоря, это уравнение представляет фигуру, состоящую из двух ветвей конхоиды и полюса О,

Рис. 485

который может и не принадлежать определенному выше геометрическому месту (см. рис. 487).

Уравнение в полярной системе (О — полюс; ОХ - полярная ось):

где меняется от какого-либо значения до При этом точка описывает обе ветви конхоиды.

При прохождении через значение точка скачком переходит с внешней ветви на внутреннюю («уходит в бесконечность» по направлению «вверх», а появляется «снизу»). Аналогично совершается переход при внутренней ветви на внешнюю.

В отличие от (1) уравнение (2) представляет фигуру, содержащую только те точки, которые удовлетворяют определению конхоиды.

Параметрические уравнения:

4. Особенности формы. Конхоида симметрична относительно прямой последняя пересекает конхоиду помимо точки О в двух точках (вершины). Основание асимптота как для внутренней, так и для внешней ветви. Форма конхоиды (внутренней ее

ветви) существенно зависит от соотношения между отрезками а и

1) Когда (рис. 485), внутренняя ветвь имеет петлю ; точка О — узловая.

Угловой коэффициент касательных в узловой точке:

Для построения касательных в точке О достаточно засечь на основании точки дугами радиуса I из центра О.

Наибольший поперечник петли:

Ему соответствует абсцисса и полярный угол определяемый формулой На рис. 485, где имеем

2) Когда петля внутренней ветви стягивается к полюсу О и превращается в точку возврата (рис. 486), касательная в этой точке совпадает с

3) Когда внутренняя ветвь не проходит через плюс О (рис. 487); последний является изолированной точкой линии (1).

5. Точки перегиба. На внешней ветви — две точки перегиба (см. рис. 485—487). На внутренней ветви точки перегиба на рис. 487) имеются лишь в том случае, когда полюс является изолированной точкой. Абсциссу пары точек и абсциссу пары точек можно найти из уравнения

Рис. 486

Рис. 487

1) При (рис. 485) уравнение (5) имеет единственный корень он заключен между и и тем ближе к чем меньше а отличается от 1. Так, при (см. рис. 485) уравнение (5) имеет вид Корень заключен между . Используя эти границы и применив (дважды) формулы § 291, найдем

2) При (рис. 486) уравнение (5) принимает вид Оно имеет три действительных корня Первый дает абсциссу точек перегиба второму соответствует точка возврата третьему не соответствует никакая точка конхоиды.

3) При уравнение (5) имеет три действительных корня, из которых первый заключен между а и он не превосходит также и отрезка а Второй корень заключен между (оба корня тем ближе к а, чем меньше а отличается от нуля). Третий корень отрицательный. Корень дает абсциссу точек корень абсциссу точек Корню не соответствует никакая точка конхоиды. Так, при (см. рис. 487) имеем уравнение

Между лежит корень дающий точки перегиба Между лежит корень он дает точки Третий корень отрицательный.

6. Свойство нормали. Нормаль конхоиды в ее точке (рис. 488) проходит через точку пересечения двух прямых, одна из которых есть перпендикуляр к проведенный через полюс О, а другая — перпендикуляр к основанию проведенный через точку где пересекается с

7. Построение касательной. Чтобы построить касательную к конхоиде в ее точке соединяем последнюю с полюсом О. Через точку пересечения прямых проводим прямую а через полюс О — прямую Точку пересечения этих прямых соединяем с Прямая будет нормалью к конхоиде. Проведя получим искомую касательную.

Рис. 488

8. Радиусы кривизны в точках :

Так, при

9. Площадь между асимптотой и одной из ветвей конхоиды (внешней или внутренней) бесконечна. Площадь петли:

Так, при (см. рис. 485)

10. Обобщенные конхоиды. Взяв вместо прямой линии какую-либо кривую а в остальном полностью сохранив определение конхоиды Никомеда, получим новую линию, называемую конхоидой линии относительно полюса О.

К числу обобщенных конхоид принадлежит, в частности, улитка Паскаля (см. § 508).