§ 185. Практический прием вычисления определителей

Нижеописанный прием особенно удобен, когда элементы определителя — целые числа.

Намечаем строку, по элементам которой будем вести разложение. Желательно, чтобы там был нуль. Прием имеет цель создать в избранной строке новые нули. Для этого применяется свойство 6 § 184.

Пример 1. Вычислить определитель

Разложим его по элементам второй строки (в ней есть нуль). Создадим там (на месте элемента 6) еще один нуль. Для этого вычтем из элементов второго столбца утроенные элементы третьего. Получим:

Будем теперь вести разложение по элементам первого столбца, где уже есть один нуль. Создадим в этом столбце (на месте элемента 7) еще один нуль. Для этого вычтем из элементов третьей строки элементы первой, умноженные на Получим:

Замечание. Можно было предвидеть, что первый способ удобнее: во второй строке элемент 6 есть кратное элемента 2,

тогда как в первом столбце элемент 7 не кратен элементу 2. Желательно, чтобы в избираемой строке (или столбце) по возможности все элементы были кратны одному. Если один из элементов равен 1 или -1, то следует избрать ту строку или тот столбец, где стоит этот элемент.

Пример 2. Вычислить определитель

Избираем третий столбец (там есть и нуль и единица). Чтобы создать нуль на месте элемента 4, вычтем учетверенные элементы третьей строки (там находится элемент 1 избранного столбца) из элементов первой строки. Первая строка примет вид

Чтобы создать в третьем столбце нуль на месте элемента -2, прибавим удвоенные элементы третьей строки к элементам четвертой. Последняя примет вид

Теперь, разлагая по элементам третьего столбца, имеем:

В определителе третьего порядка все элементы второго столбца кратны элементу -3. Поэтому прибавляем элементы третьей строки (где стоит элемент -3) к элементам второй, а затем, предварительно удвоив их, — к элементам первой строки. Получим:

Пример 3. Вычислить определитель

Здесь нет нулей, но во второй строке легко создать сразу два нуля: к ее элементам надо прибавить элементы первой строки. Получим

Теперь во второй строке можно создать еще один нуль, вычтя из элементов третьего столбца элементы второго, умноженные на Но удобнее предварительно создать во второй строке единицу. Для этого достаточно вычесть из элементов второго столбца элементы третьего. Получим:

(мы вычли из элементов третьего столбца учетверенные элементы второго). Теперь имеем: