§ 140. Уравнения прямой в пространстве

Всякая прямая линия (рис. 168) представляется системой двух уравнений:

представляющих (если их рассматривать по отдельности) какие-либо две (различные) плоскости проходящие через Уравнения (1) и (2) (взятые в совокупности) называются уравнениями прямой

Замечание. Выражение «прямая представляется системой означает, что 1) координаты всякой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям (1) и (2); 2) координаты всякой точки, не лежащей на не удовлетворяют сразу обоим уравнениям (1), (2), хотя могут удовлетворять одному из них.

Пример 1. Написать уравнения прямой проходящей через начало О и точку (рис. 169).

Решение. Прямая есть пересечение плоскостей и Взяв на оси какую-либо точку, например составляем уравнение плоскости (как проходящей через три точки § 129). Получаем:

Рис. 168

Рис. 169

Таким же образом найдем уравнение

плоскости Прямая представляется системой уравнений (3)-(4).

Действительно, всякая точка прямой лежит и в плоскости и в плоскости значит, ее координаты удовлетворяют сразу обоим уравнениям (3) и (4). С другой стороны, точка не лежащая на не может принадлежать сразу обеим плоскостям и значит, ее координаты не могут удовлетворять сразу обоим уравнениям (3) и (4).

Пример 2. Прямую примера 1 можно представить также системой уравнений

Первое из них представляет плоскость второе — плоскость

Ту же прямую можно представить системой

Пример 3. Определить, лежат ли точки на прямой рассмотренной в примере 1.

Координаты точки не удовлетворяют ни уравнению (3), ни уравнению (4); точка не лежит на прямой Координаты точки удовлетворяют (3), но не удовлетворяют (4); точка лежит в плоскости но не лежит в плоскости значит, не лежит на Точка лежит на так как удовлетворяются оба уравнения (3) и (4).

Пример 4. Уравнение представляет плоскость Уравнение представляет плоскость параллельную оси (§ 124, пример). Прямая, по которой пересекаются плоскости (KL на рис. 163), представляется системой