§ 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными
Система уравнений первой степени называется однородной, если в каждом уравнении свободный член равен нулю.
Рассмотрим однородную систему
Это — частный случай системы § 188. Особенность состоит в том, что случай 2 не может иметь места (определители (4) § 188 всегда равны нулю). Система (1)-(2) всегда имеет бесчисленное множество решений.
(Плоскости (1) и (2) проходят через начало координат и, значит, либо пересекаются, либо совпадают.)
Случай 1. Коэффициенты не пропорциональны, т. е. хотя бы один из трех определителей (3) § 188 не равен нулю. Тогда решение можно записать в симметричном виде
(параметр t - произвольное число; ср. § 152).
(Параметрические уравнения (3) представляют прямую пересечения плоскостей (1) и (2).)
Случай 2. Коэффициенты, пропорциональны, т. е. все определители 
равны нулю.
Система сводится к одному уравнению (плоскости совпадают).
Пример 1. Решить систему
Здесь
Согласно (3) имеем:
В этом примере произвольное значение можно дать одному (любому) неизвестному. Например, положив 
найдем 
Пример 2. Решить систему
Здесь
Значит,
Произвольное значение можно дать одному из неизвестных 
или 
но не неизвестному 2. Последнее может равняться только нулю (прямая лежит в плоскости 
Пример 3. Система
сводится к одному уравнению. Произвольные значения можно дать любой паре неизвестных.
