§ 341. Площадь поверхности вращения

Площадь поверхности, образованной вращением дуги около оси выражается интегралом

где у — ордината меридиана дифференциал его дуги (§ 339), и крайние значения параметра, через который выражены координаты.

Пояснение. Разбиваем поверхность (рис. 376) на параллельные пояса и каждый пояс заменяем боковой поверхностью усеченного конуса с теми же основаниями. Площади этих поверхностей эквивалентны. Поэтому

Так как , то

Отсюда вытекает формула (1).

Пример. Найти площадь поверхности, образованной вращением циклоиды около ее основания.

Рис. 376

Решение. Имеем (§§ 338, 339):

Для сравнения возьмем площадь осевого сечения (т. е. двойную площадь циклоиды) (§ 333). Площадь поверхности вращения превышает ее в раза.

Замечание. Чтобы доказать эквивалентность площади пояса и площади боковой поверхности усеченного конуса, надо определить понятие «площадь кривой поверхности». Такое определение дано в § 459. Ввиду его сложности часто вводится следующее частное определение (согласующееся с общим).

Площадь поверхности вращения есть предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением ломаной линии, вписанной в меридиан, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длины ее звеньев стремятся к нулю.

Из этого определения можно непосредственно вывести формулу (1) (ср. § 338, замечание 1).