§ 170. Проекция линии на координатную плоскость

1. Пусть линия представляется двумя уравнениями, из которых одно содержит а другое не содержит. Тогда второе представляет «вертикальную» цилиндрическую поверхность, а на плоскости направляющую этой поверхности (§ 168); проекция линии на плоскость лежит на линии (покрывая ее всю или частично).

Пример 1. Уравнения

представляют (рис. 187) линию (эллипс), по которой пересекаются плоскость (плоскость Р на рис. 187) и круглая цилиндрическая поверхность На плоскости уравнение представляет окружность Проекция линии совпадает с линией

Рис. 187

Рис. 188

Рис. 189

Пример 2. Уравнения

представляют (рис. 188) большой круг («меридиан») сферы О как пересечение этой сферы с плоскостью (плоскость R на рис. 188). Уравнение представляет на плоскости прямую Проекция меридиана на плоскость лежит на прямой но покрывает лишь ее часть, именно отрезок

2. Пусть оба уравнения, представляющие линию содержат 2; тогда для нахождения проекции линии на плоскость надо исключить из данных уравнений. Уравнение, полученное в результате исключения, представляет на плоскости линию на которой лежит искомая проекция (покрывая ее всю или частично). Аналогично находятся проекции линии на плоскости и YOZ.

Вытекает из п. 1.

Пример 3. Рассмотрим окружность на рис. 189), представляемую (ср. § 169, пример 2) уравнениями

Для нахождения ее проекции на плоскость исключим из (1) и (2). Получим уравнение

Оно представляет на плоскости эллипс с полуосями Проекция окружности покрывает эллипс целиком.

Для нахождения проекции окружности на плоскость надо из (1) и (2) исключить у. Получим уравнение

представляющее на плоскости эллипс тех же размеров, что и Проекция окружности покрывает этот эллипс целиком.

Для нахождения проекции окружности на плоскость не нужно выполнять исключение так как одно из данных уравнений и без того не содержит Уравнение представляет на плоскости всю прямую но искомая проекция покрывает лишь ее отрезок