§ 265. Формула конечных приращений

Формулу (1) § 264 можно переписать в виде

или при других обозначениях

Это — формула конечных приращении; ее записывают также в виде

Применение к приближенным вычислениям. В § 248 мы применили для вычисления приближенную формулу

Точная формула (3) (хотя значение неизвестно) позволяет оценить погрешность формулы (4). Если же в формуле (3) положить хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило (ср. § 264), гораздо лучшее приближение, чем (4).

Пример. Найти без таблиц

Полагая имеем . При формула (4) дает:

Для оценки погрешности применим точную формулу (3); получим:

Здесь лежит между 100 и 101, так что Погрешность формулы (5) составляет а эта

величина заведомо меньше, чем , т.е. меньше, чем 0,00004. Такова предельная погрешность формулы (5) (истинная погрешность вдвое меньше).

Если же в формуле (6) положить , то получим:

Здесь неверна лишь последняя цифра; истинное ее значение на единицу больше.

Следствия из формулы (1). Из определения производной непосредственно следует, что производная постоянной величины равна нулю. Из формулы (1) вытекает следующая обратная теорема.

Теорема 1. Если производная в промежутке всюду равна нулю, то в этом промежутке функция есть постоянная величина (т. е. для любых значений в этом промежуткезначения функции одинаковы).

Пояснение. Функция по условию дифференцируема в промежутке и тем более в промежутке Значит, к ней можно (§ 264) применить формулу (1). В последней по условию надо положить Получим .

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Если производные двух функций в промежутке всюду равны, то в этом промежутке значения обеих функций отличаются на постоянную величину.