§ 365. Кручение

Кручение пространственной линии характеризует степень отклонения линии от плоской формы (подобно тому как кривизна характеризует степень отклонения от прямолинейной формы).

Определение. Кручением линии в точке называется величина, определяемая следующим образом: но абсолютному значению она равна пределу, к которому стремится отношение угла составленного бинормалями и к дуге когда точка оставаясь на линии стремится к Знак кручения (а также знак угла считается положительным, когда пара бинормалей правая (см. § 165а), и отрицательным, когда эта пара — левая. Кручение обозначается а:

Замечание. Бинормаль плоской линии сохраняет постоянное направление, так что кручение плоской линии всюду равно нулю. Обратно, если кручение линии всюду равно нулю, то линия плоская. У неплоской линии кручение может равняться нулю лишь в отдельных точках (точки сплощения).

Радиус кручения. Величина обратная кручению, называется радиусом кручения по аналогии с радиусом кривизны Но эта аналогия — неполная: процесс, аналогичный построению центра кривизны, не дает никакого «центра кручения».

Кручение выражается формулой

или в координатной форме

Если за параметр принять дугу то формулы (1) и (2) несколько упрощаются:

или в координатной форме

Пример. Найти кручение винтовой линии

Решение. Имеем:

По формуле (1) находим:

Отсюда видно, что кручение правой винтовой линии положительно, левой — отрицательно.