§ 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени

Способ упрощения уравнения второй степени, изложенный в §§ 60—62, имеет перед другими способами два преимущества: 1) он дает полную классификацию линий второго порядка (теорема § 58); 2) он единообразен и прост по идее. Однако этот способ требует довольно утомительных выкладок.

Во многих случаях выкладки можно облегчить. 1. Для линий второго порядка, распадающихся на пару прямых (§ 58, примеры 2, 3, 4, 6), можно легко

найти уравнения обеих прямых, не прибегая к преобразованию координат. Этот способ излагается в § 65; предварительно (§ 64) дается признак распадения.

2. Нераспадающаяся линия второго порядка может быть или эллипсом, или гиперболой, или параболой. Эллипс и гипербола имеют центр, а парабола не имеет. Поэтому упрощение уравнений эллипса и гиперболы удобно начать с переноса начала координат в центр. Можно заранее узнать, к какому из этих трех типов принадлежит линия второго порядка. Соответствующий признак дан в § 67, в § 68 уточняется понятие центра и в § 69 объяснено, как найти координаты центра. В § 70 объяснен способ упрощения уравнений эллипса и гиперболы.

3. Что касается параболы, то для нее способ упрощения, изложенный в § 61, остается наилучшим. Впрочем, размеры параболы (т. е. величину параметра ) можно легко найти при помощи так называемых инвариантов. О них сказано в § 66.